Se asume que este acertijo, conocido como el problema de la división de los 17 caballos o del reparto de los 17 caballos, es de origen oriental, pero fue introducido en occidente por el matemático italiano Tartaglia en el siglo XVI.
El papiro de Ahmes
El problema se puede remontar al antiguo papiro de Ahmes o A'h mose, un matemático egipcio que vivía alrededor del año 1650 AEC, quien cita el autor original Amenemhat III, alrededor del año 1850 AEC. Hoy en día este papiro se conoce mejor por el nombre de su descubridor como el papiro Rhind.
El papiro se introduce con un pequeño poema:
Cómputo exacto. La entrada al conocimiento de todas las cosas existentes y todos los secretos oscuros.
Y cierra con una oración curiosa:
Atrapa las alimañas y los ratones, extingue las malas hierbas nocivas. Reza al dios Ra por calor, viento y marea alta.
Entre medias se encuentra este puzle.
Números y cálculos en el Antiguo Egipto
El sistema de numeración en el antiguo Egipto era decimal y posicional, es decir, básicamente como el nuestro, con la diferencia de la ausencia de la cifra cero (0), y como consecuencia la necesidad de crear un símbolo nuevo para cada potencia nueva de 10.
Jeroglíficos para números egipcios
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000 | ||||||||||||||
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En gran parte de los papiros y las tabletas egipcias los números juegan un papel importante.
Los antiguos egipcios lo tenían muy fácil sumar y restar con su sistema de numeración y también sabían multiplicar, dividir y usar fracciones simples.
De hecho tenían un sistema muy curioso de multiplicar. Si por ejemplo querían multiplicar 7 * 22, se crean dos columnas. En la primera se comienza con 1 y en la segunda con cualquiera de los multiplicando (números que son multiplicados). Después se multiplica cada número para la siguiente fila hasta llegar en la primera columna a un número más alto que el otro multiplicando.
Ahora se eligen solo los números que suman 22 en la primera columna. Una vez evaluado estos números, se cogen los números en la misma fila de la segunda columna y se suman. ¡Y listo! Esto es el resultado.
En esencia, los egipcios descubrieron que cualquier múltiple de 7 puede ser encontrado de esta manera y expresado como una potencia de 2, es decir de forma binaria:
7 * 22 = 7 * (2 + 4 + 16) = 7 * (21 + 22 + 24)
El problema de la división trajo más dolor de cabeza a nuestro pobre matemático egipcio, pero lo resolvió.
Para ello usó también el sistema de las dos columnas empezando con 1 en la primera y el divisor en la segunda. Para dar un ejemplo usamos 43 dividido entre 8 (43/8).
Como en la multiplicación empezamos a duplicar en ambas columnas hasta llegar a la última fila con un número inferior al dividendo (en este caso 43). En las siguientes filas comenzamos de nuevo, pero esta vez dividimos siempre entre 2, es decir cogemos la mitad de lo anterior, empezando con el número de la primera fila.
Al igual que en la multiplicación escogemos todos los números que suman el dividendo, es decir esta vez de la segunda y no de la primera columna.
He aquí la ilustración de este ejemplo:
Los egipcios escribían las fracciones con el símbolo del número en el denominador y un oval arriba. Lo expresaron como "n-parte de mí". En términos matemáticos solo usaron fracciones unitarias.
Jeroglíficos para algunas fracciones
| 12 | 13 | 23 | 14 | 15 | ||||||||||
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Este método tiene varias dificultades:
- Hay muchas maneras diferentes de escribir una fracción
- No podemos ver fácilmente si dos fracciones son iguales
- No sabían combinar fracciones
Desde un punto de vista esta manera de expresar fracciones es torpe y trafalagosa, pero en la vida práctica era bastante intuitiva.
Así dividía panes en el antiguo Egipto:
Y esto nos lleva ahora nuestro problema.
¿Cómo salvar un camello?
El problema arriba dice:
Un hombre muere y deja a sus tres hijos 17 caballos que deben ser divididos en proporción
.
¿Pueden cumplir los hermanos con el deseo de su padre?
En este caso la solución es añadir un camello y "devolverlo" al final.
En primer lugar, el problema es que no se puede calcular la parte fraccionaria, dado que cada uno quiere un camello vivo, es decir entero o un múltiplo entero de las partes en que se divide.
En segundo lugar, la suma de las partes en la que se hace la división ha de sumar el total.Solución
La suma de las partes:
La suma de las partes:
- La suma de las pastes es de diecisiete dieciochoavos (17/18) y no dieciocho dieciochoavos (18/18).
- que da por resultado números enteros, se puede ver que:
- con lo que sobra una vaca que puede ser devuelto a quién se la prestó.
¿Porqué funciona?
Esto funciona porque la suma de la fracción es ella misma una fracción que se expresa en la forma matemática:
d / (d + 1)
En concreto: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
Dado que el numerador y el denominador difieren por uno y por esto se debe añadir precisamente un camello.
Una de las preguntas que quedan es, ¿cuántos problemas de este tipo existen?
¿Una falacia matemática?
Este problema que se remonta al matemático egipcio Ahmes no es una falacia, sino una de las formas más comunes de encontrar soluciones matemáticas complejas.
La fórmula general es
a(ar^1-1)/(r-1)
Olivastro plantea una pregunta muy interesante. Él observa que aparentemente "cualquier fracción con un denominador impar, como 2/7, 4/9 o 5/13, [puede] escribirse como la suma de fracciones unitarias, todas las cuales tienen denominadores impares, no hay dos iguales". Pero, hasta ahora, esto no ha sido probado.
Puede comprobar esto con una calculadora de fracciones.
Artículo original del blog Quadrivium.
Fuente: Dominic Olivastro. (1993). Ancient puzzles. Classic brainteasers and other timeless mathematical games of the last 10 centuries. pp. 31-46.
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